Sistema de Ecuaciones Lineales

Resolución de Sistemas Lineales

Ecuación Lineal

Una recta en el plano xy puede representarse algebraicamente mediante una

ecuación de la forma

ax+by =c

A una ecuación de esta clase se le denomina ecuación lineal en las variables x e y. En

forma general se define una ecuación lineal en n variables x1, x2, …,xn como aquella que

puede expresarse en la forma:

a1x1 +a2x2+,…,+anxn =b

donde los ai y b son constantes reales.

Ejemplos

• x+y =7
• 3×1 +7×2-8×3 =19
• x1 +x2+,…,+xn = 4

Sistemas de ecuaciones Lineales

Un sistema arbitrario de m ecuaciones y n incógnitas se escribe

a11x1 +a12x2+,…,+a1nxn =b1

a21x1 +a22x2+,…,+a2nxn =b2

…………………………………

am1x1 +am2x2+,…,+amnxn =bm

donde los xi son incógnitas y los aij y los bi denotan constantes. En el caso en que las constantes bi desean todas cero, se dice que el sistema es homogeneo, si por lo menos una de las bi es distinta de cero se dice que el sistema es no homogéneo.

En un sistema de ecuaciones lineales siempre tenemos solo uno de los tres casos siguientes:

1. El sistema tiene una única solución.

2. El sistema no tiene solución.

3. El sistema tiene más de una solución (infinidad de soluciones).

Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales se verán a continuación, sin embargo, todos ellos nos deben de dar la misma solución.

Antes de revisar los métodos podemos mencionar un criterio que nos permitirá saber si el sistema tiene ó no, una única solución:

El sistema

a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

tiene una única solución si y sólo si a11a22 - a12a21 ¹0:

Si a11a22 - a12a21 = 0; y

1. a11; a12; b1 son múltiplos de a21; a22; b2, respectivamente. Entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones.

2. a11; a12 son múltiplos de a21; a22 respectivamente, pero b1 no lo es de b2. Entonces el sistema no tiene solución.

Ejemplos:

1. Consideremos el sistema

2x + 3y = 1

3x – y = -1

como (2)(¡1)¡(3)(3) = ¡2¡9 = ¡11 6= 0, entonces el sistema tiene una única solución.

1. Consideremos el sistema

3x + 4y = 4

6x – 2y = 2

como (3)(-2)-(6)(4) = -6 -24 = -30¹ 0, entonces el sistema tiene una única solución.

1. Consideremos el sistema

2x + y = 6

4x + 2y = 1

como (2)(2)-(4)(1) = 4-4 = 0, entonces el sistema NO tiene una única solución, pero como 4x+2y es el doble de 2x+y, pero 1 no es el doble de 6, el sistema NO

tiene solución.

Método de sustitución

El método de sustitución trabaja de la siguiente manera:

1. De la primera ecuación se despeja una incógnita, digamos x.
2. Se sustituye la incógnita despejada en la segunda ecuación.
3. Se reduce la segunda ecuación, y se encuentra el valor de y.
4. Finalmente se sustituye el valor de y, en la ecuación del paso 1, y se encuentra x.

Es posible cambiar de incógnita.

Ejemplo:

x + y = 1

x – y = 1

Paso 1 Despejamos de la primera ecuación a x, entonces x = 1 - y.

Paso 2 Sustituimos a x = 1 -y, en la segunda ecuación:

x – y = 1

(1 - y) -y = 1

Paso 3 Reducimos la ecuación anterior:

(1 - y) -y = 1

1 - 2y = 1

1 -1 = 2y

0 = 2y

de donde y = 0.

Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en la ecuación del paso 1, x = 1- y.

Entonces x = 1 -(0) = 1.

Paso 5 Por lo tanto la solución del sistema es:

x = 1

y = 0

Método de igualación

El método de igualación trabaja de la siguiente manera:

1. Despejamos de ambas ecuaciones una incógnita, digamos x.
2. Igualamos ambos despejes.
3. Despejamos, entonces a y de la ecuación obtenida del paso anterior.
4. Obtenemos a x, al sustituir y, en cualquier ecuación obtenida del paso 1.

Ejemplo:

2x + y = 3

3x + 2y = 2

Paso 1 Despejamos de ambas ecuaciones a x, entonces:

x =3 –y

2

x =2 -2y

3

Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior:

3 –y = 2 -2y

2 3

Paso 3 Despejamos a y de la ecuación anterior:

3 –y = 2 -2y

2 3

3(3 - y) = 2(2 -2y)

9 - 3y = 4 - 4y

9 - 4 = -4y + 3y

5 = -y

de donde y = -5.

Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = -5, en cualquier la ecuación del paso 1,

x =3 –y Entonces x = 3 -(-5) = 8 =  4

2                                 2        2

Paso 5 Por lo tanto la solución del sistema es:

x = 4

y = -5

Método de eliminación

El método de igualación trabaja de la siguiente manera:

1. Se observan las ecuaciones, si tenemos los “mismos” x; (y) en la primera que en la segunda con signo contrario, si no, entonces buscamos un número real tal que al multiplicar una ecuación por ese número r obtengamos los mismos x; (y) en ambas ecuaciones con signo contrario.
2. Observación: si multiplicamos una ecuación por un número real r, la solución del sistema no cambia.
3. Posteriormente sumamos ambas ecuaciones, y así reducimos nuestro sistema a una sola ecuación con x ó y.
4. Despejamos ese x ó y, y sustituimos en cualquier ecuación del sistema para obtener el y ó x restante.

Ejemplo:

x – y = -1

2x – 3y = 5

Paso 1 Obsérvese que tenemos en ambas ecuaciones a x, y 2x por lo tanto, si multiplicamos a la primera ecuación por -2, obtenemos:

-2x + 2y = 2

2x – 3y = 5

Paso 2 Sumando ambas ecuaciones del paso anterior obtenemos: 2y – 3y = 2 + 7, entonces

y = -7:

Paso 3 Ahora, sustituimos el valor de y = -7, en cualquier ecuación del paso 1,

x = y -1. Entonces x = (-7) -1 = -8.

Paso 4 Por lo tanto la solución del sistema es:

x = -8

y = -7

Conclusión

De los ejemplos anteriores podemos concluir que los tres métodos para obtener la solución a un sistema de ecuaciones 2x2, dan el mismo resultado. También podemos concluir que el método “más” eficiente es el tercero, el método de eliminación. Este método se puede generalizar para sistemas de ecuaciones más grandes, de hecho es el método más general para dar solución a sistemas de ecuaciones lineales con n ecuaciones y m incógnitas éste lleva el nombre de método de Gauss

METODO DE REDUCCION DE GAUSS-JORDAN